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By Christoph Schweigert

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Das regelm¨aßige n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n von der Form n = 2e p1 . . ps ist, mit e ≥ 0, pi paarweise verschiedene Primzahlen der Gestalt pi = 1 + 22 ki ki ≥ 0 . 3. F¨ ur m ∈ N ist 1 + 2m h¨ochstens dann eine Primzahl, wenn m von der Form m = 2k f¨ ur ein k ≥ 0 ist. Beweis. Sei m ein Produkt, m = m1 m2 mit m2 > 1 einer ungeraden Zahl. Dann ist die Zahl p := 1 + 2m keine Primzahl, da gilt p = 1 − (−2m1 )m2 = (1 + 2m1 )(1 − 2m1 + 22m1 − . . + 2m1 (m2 −1) ) , also p das Produkt zweier nat¨ urlicher Zahlen gr¨oßer als Eins ist.

29 • Sei nun ϕ ∈ Aut (IFq ) ein beliebiger Automorphismus. Da ϕ|Fp = id auf dem Primk¨orper Fp , folgt ϕ ∈ G(Fq /Fp ). Aus der Galoistheorie folgt |G(IFq /IFp )| = [IFq : IFp ] = d Damit erzeugt σp die Automorphismengruppe von IFq zyklisch. 8. Seien n, m ≥ 1 ganze Zahlen. Dann gilt Fpn ⊆ Fpm ⇐⇒ n|m Ist dies der Fall, so ist die K¨orpererweiterung Fpm /Fpn galoisch und die Galoisgruppe G(Fpm /Fpn ) ist zyklisch erzeugt durch die Abbildung σpn : Fpm → Fpm n x → xp Beweis. 2 nd = m. 2 klar. 1 ist die K¨orpererweiterung Fpm /Fp separabel und normal; daher gilt dies auch f¨ ur die K¨orpererweiterung Fpm /Fpn .

P √ Diese Gleichung multiplizieren wir mit p∗ und erhalten σq p∗ = q+1 q ∗ p = (p∗ ) 2 mod qR . p Nach unseren Voraussetzungen gilt (p∗ , q) = 1, also ist p∗ mod q invertierbar in Z/q ⊆ R/q. Es folgt q−1 q = (p∗ ) 2 mod qR , p also q p − (p∗ ) q−1 2 ∈ qR ∩ Z, da q ungerade sein sollte. Ein Koeffizientenvergleich bez¨ uglich der Q-Basis 2 p−2 (1, ζ, ζ , . . , ζ ) von Q(ζ)/Q zeigt, dass qZ[ζ] ∩ Z = qZ gilt. 7 (i) verwendet wurde. Wir finden q p∗ = p q −1 = q p−1 2 p−1 q−1 p p = (−1) 2 2 , q q wobei in der letzten Gleichheit noch einmal q = 2 benutzt wurde.

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by Joseph
4.4

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